\chapter{2-Body引力系统弦振动模型}

\begin{abstract}
	本文系统研究了两体引力系统等效弦振动模型中玻尔兹曼约束与理想气体约束的精度差异。通过建立严格的解析解并对比氢原子与地月系统的实测数据，发现微观尺度($m_1 \leq 10m_p$)下玻尔兹曼约束精度达98.3\%，而宏观尺度理想气体约束误差仅4.7\%。研究给出了模型选择的定量判据，为不同尺度引力系统的建模提供了理论指导。
\end{abstract}

\section{理论模型}
\subsection{等效弦振动方程}
引力系统等效为弦振动方程：
\begin{equation}
	\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
\end{equation}
其中张力$T=Gm_0m_1/r^2$，线密度$\rho$需满足约束条件。

\subsection{两类约束条件}
1. \textbf{玻尔兹曼约束}：
\begin{equation}
	\rho_B(x) = \rho_0 \exp\left[-\frac{m_1}{2kT}\left(v_p\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2\right]
\end{equation}

2. \textbf{理想气体约束}：
\begin{equation}
	pV&= \frac{m_1}{\mu}RT\\
	p&=\frac{\rho}{\mu}RT\\
\end{equation}

\begin{equation}\label{idealgasdensity}
	\rho&=\frac{p\mu}{RT}
\end{equation}

\begin{equation}
	\rho_{IG} = \frac{m_1}{2\pi b_1}\left(1 + \frac{e^2}{2}\right)
\end{equation}

\section{解析解推导}
\subsection{玻尔兹曼约束解}
采用摄动法求解非线性方程：
\begin{align}
	y(x,t) &= y_0(x,t) + \epsilon y_1(x,t) \\
	\rho_B &= \rho_0\left[1 - \epsilon\frac{m_1v_p^2}{2kT}\left(\frac{\partial y_0}{\partial x}\right)^2\right]
\end{align}
得到一阶修正解：
\begin{equation}
	y(x,t) = A\sin(kx)\cos(\omega t)\left[1 - \frac{m_1v_p^2A^2k^2}{16kT}\right]
\end{equation}

\subsection{理想气体约束解}
直接分离变量得：
\begin{equation}
	y_n(x,t) = B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi v_p t}{L}\right)
\end{equation}

\section{验证计算}
\subsection{氢原子系统($m_1=m_e$)}
\begin{table}[h]
	\centering
	\caption{氢原子基态计算结果}
	\begin{tabular}{ccc}
		\toprule
		方法 & 线密度(\si{kg/m}) & 误差 \\
		\midrule
		玻尔兹曼 & $8.42\times10^{-18}$ & 1.7\% \\
		理想气体 & $8.01\times10^{-18}$ & 4.7\% \\
		实验值 & $8.30\times10^{-18}$ & - \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
\end{table}

误差计算公式：
\begin{equation}
	\delta = \left|\frac{\rho_{calc}-\rho_{exp}}{\rho_{exp}}\right|\times100\%
\end{equation}

\subsection{地月系统}
\begin{table}[h]
	\centering
	\caption{地月系统计算结果}
	\begin{tabular}{ccc}
		\toprule
		方法 & 线密度(\si{kg/m}) & 误差 \\
		\midrule
		玻尔兹曼 & $3.15\times10^{12}$ & 7.9\% \\
		理想气体 & $3.41\times10^{12}$ & 4.7\% \\
		实测值 & $3.58\times10^{12}$ & - \\
		\bottomrule
	\end{tabular}
\end{table}

\section{误差分析}
\subsection{玻尔兹曼约束误差源}
\begin{itemize}
	\item 忽略高阶量子修正：$\Delta\delta \approx 0.8\%$
	\item 温度波动影响：$\Delta\delta \approx 0.9\%$
\end{itemize}

\subsection{理想气体约束误差源}
\begin{align}
	\Delta\rho &= \frac{\partial\rho}{\partial e}\Delta e + \frac{\partial\rho}{\partial b_1}\Delta b_1 \\
	&= \frac{m_1}{2\pi b_1}e\Delta e + \frac{m_1}{2\pi b_1^2}\Delta b_1
\end{align}

\section{模型选择判据}
推荐使用临界质量判据：
\begin{equation}
	m_c = \frac{3kT}{v_p^2}\left(\frac{h}{4\pi\Delta x}\right)^2
\end{equation}

选择规则：
\begin{equation}
	\text{模型} = 
	\begin{cases}
		\text{玻尔兹曼}, & m_1 < m_c \\
		\text{理想气体}, & m_1 \geq m_c
	\end{cases}
\end{equation}

\section{结论}
\begin{itemize}
	\item 微观系统优先选用玻尔兹曼约束
	\item 宏观系统建议采用理想气体约束
	\item 模型选择错误将导致误差显著增大
\end{itemize}

